已知函数g（x）是f（x）=x2（x＞0）的反函数，点M（x，y）、N（y，x）...

已知函数g（x）是f（x）=x²（x＞0）的反函数，点M（x，y）、N（y，x）分别是f（x）、g（x）图象上的点，l₁、l₂分别是函数f（x）、g（x）的图象在M，N两点处的切线，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）求M、N两点的坐标；
（Ⅱ）求经过原点O及M、N的圆的方程．

（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后利用平行直线的斜率相等即可解决问题．（II）欲求经过原点O及M、N的圆的方程，利用圆的一般方程结合待定系数法求解即可．【解析】（Ⅰ）因为f（x）=x2（x＞0），所以．从而f'（x）=2x，．所以切线l1，l2的斜率分别为k1=f'（x）=2x，．又y=x2（x＞0），所以．因为两切线l1，l2平行，所以k1=k2．因为x＞0，所以．所以M，N两点的坐标分别为．（Ⅱ）设过O、M、N三点的圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0．因为圆过原点，所以F=0．因为M、N关于直线y=x对称，所以圆心在直线y=x上．所以D=E．又因为在圆上，所以．所以过O、M、N三点的圆的方程为：．

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考点分析：

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已知函数

．
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x	1	2	3	4	5	6	π
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试题属性

题型：解答题
难度：中等