Question

已知函f（x）是偶函数，而且在（0，+∞）上是增函数，判断f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断．

Answer

用单调性定义来证明，先在给定区间上取两个变量，且界定大小，不妨设x1＜x2＜0则有-x1＞-x2＞0，
再由“f（x）在（0，+∞）上是增函数”可得到f（-x1）＞f（-x2），然后由“f（x）是偶函数”转化为f（x1）＞fx2），再由单调性定义判断．
【解析】
f（x）在（-∞，0）上是减函数（1分）
证明：设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（-x1）＞f（-x2）（7分）
又f（x）是偶函数
∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=f（x2）
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数（12分）