Question

设函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在区间（-∞，0）是减函数，且图象过点（1，0），则不等式（x-1）f（x）≤0的解集为（ ）
A．（-∞，0）∪[2，+∞）
B．（-2，0）∪[2，+∞）
C．（-∞，0]∪（1，2]
D．（-∞，0）∪（1，2）

Answer

根据不等式（x-1）f（x）≤0，由积商符号法则，得到f（x）≥0，或f（x）≤0，根据函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，在区间（-∞，0）是减函数，得到函数f（x）的对称性和单调性，根据函数的单调性解不等式f（x）≥0，或f（x）≤0．
【解析】
∵函数y=f（x+1）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
又∵函数y=f（x+1）在区间（-∞，0）是减函数，
∴函数f（x）在区间（-∞，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数，
又f（2）=0
∴f（0）=0
∴当x＞1时，f（x）≤0=f（2）
∴1＜x≤2
当x＜1时，f（x）≥0=f（0）
∴x≤0，∴x≤0．
综上x≤0或1＜x≤2．
故选C．