Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁为菱形，∠A₁AB=60°，四边形BCC₁B₁为矩形，若AB⊥BC，求证：平面A₁CB⊥平面ACB₁．

Answer

欲证平面A1CB⊥平面ACB1，根据面面垂直的判定定理可知在平面ACB1内一直线与平面A1CB垂直，而AB⊥BC，BC⊥B1B，AB∩B1B=B，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面AB1，而AB1⊂面AB1，则AB1⊥CB，AB1⊥A1B，则AB1⊥平面A1CB，而AB1⊂平面ACB1，满足定理所需条件．
【解析】
∵AB⊥BC，BC⊥B1B，AB∩B1B=B
∴BC⊥面AB1，而AB1⊂面AB1，
∴AB1⊥CB；
根据四边形A1ABB1为菱形，则AB1⊥A1B
∴AB1⊥平面A1CB，而AB1⊂平面ACB1，
∴平面A1CB⊥平面ACB1．