Question

如图，设由抛物线C：x²=4y与过它的焦点F的直线l所围成封闭曲面图形的面积为S（阴影部分）．
（1）设直线l与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，直线l的斜率为k，试用k表示x₂-x₁；
（2）求S的最小值．

Answer

（1）由抛物线C的方程可得焦点的坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而可设直线l的方程，与抛物线联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，进而根据求得x2-x1．
（2）根据化简整理得，令，进而根据t的范围求得S的范围，得到最小值．
【解析】
（1）可得点F（0，1），
设直线l的方程为y=kx+1直线l与抛物线C交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得x2-4k-4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4，又x1＜x2，
∴．
（2）所求的面积：
=
=
=
=
令，则t≥1，有k2=t2-1，
S==
在[1，+∞）上为单调递增函数，∴当t=1，即k=0时，S有最小值．