Question

已知圆：x²+y²-4x-6y+12=0．
（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；
（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求的最值．

Answer

（1）先化成圆的标准方程求出圆心和半径，然后对过点A分斜率存在和不存在两种情况进行讨论．当斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径求出k的值，进而可得到切线方程．
（2）设=k得到y=kx，然后转化为求满足条件的直线斜率的最值问题，又有当直线与圆相切时可取得最大与最小值，从而可得到答案．
【解析】
（1）由x2+y2-4x-6y+12=0可得到（x-2）2+（y-3）2=1，故圆心坐标为（2，3）
过点A（3，5）且斜率不存在的方程为x=3
圆心到x=3的距离等于d=1=r
故x=3是圆x2+y2-4x-6y+12=0的一条切线；
过点A且斜率存在时的直线为：y-5=k（x-3），即：y-kx+3k-5=0，根据圆心到切线的距离为半径，可得到：
r=1=化简可得到：
（k-2）2=1+k2∴k=．
所以切线方程为：4y-3x-11=0．
过点A（3，5）的圆的切线方程为：4y-3x-11=0，x=3
（2）由题意知点P（x，y）为圆上任意一点，故可设=k，即要求k的最大值与最小值
即y=kx中的k的最大值与最小值
易知当直线y=kx与圆相切时可取得最大与最小值，此时
d=1=，整理可得到：3k2-12k+8=0
得到k=或
∴的最大值为，最小值为