设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为，设过右焦点F．（Ⅰ）求椭圆M的方...

设椭圆M：

（a＞b＞0）的离心率为 manfen5.com 满分网

，长轴长为

，设过右焦点F．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭M于A，B两点，求证|AB|= manfen5.com 满分网

．

（Ⅰ）根据题意中的离心率，长轴长及a，b和c的关系联立方程可求得a和b，进而可求得椭圆M的方程．（Ⅱ）当θ≠设直线AB的斜率为k=tanθ，进而可得直线方程，与椭圆方程联立消去y，设点A（x1，y1），B（x2，y2）进而根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|AB|把tanθ代入化简得|AB|=，最后再看当θ=时也符合，进而原式得证．【解析】（Ⅰ）依题意可得解得a=3，c=3，b=3 ∴所求椭圆M的方程为（Ⅱ）当θ≠，设直线AB的斜率为k=tanθ，焦点F（3，0），则直线AB的方程为 y=k（x-3）有消去y得（1+2k2）x2-12k2x+18（k2-1）=0 设点A（x1，y1），B（x2，y2）有x1+x2=2k21+2k2，x1x2= |AB|== 又因为k=tanθ=代入上式得 |AB|= 当θ=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=3 而当θ=时，AB|==3 综上所述所以|AB|=|=

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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