Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），记，且对一切正整数n有恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，令x=0，y=1，即可求得f（0）的值；且当x＞0时，f（x）＞1，当x＜0时，-x＞0，可证有0＜f（x）＜1成立；
（II）根据函数单调性的定义讨论函数的单调性；
（III）f（1）=2，数列{an}满足an=f（n），探讨数列{an}的特性，从而求得sn，对一切正整数n有恒成立，
求得sn的最值，求得实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

（Ⅱ）任取x1，x2∈R且设x1＞x2，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴，（7分）∵x1-x2＞0，∴f（x1-x2）＞1，
∴f（x1）＞f（x2）．
所以函数f（x）在R上是增函数．

（Ⅲ），
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an=2n．．
又对一切正整数n，有恒成立，
即恒成立．
又f（1）=2，∴恒成立．
又由（Ⅱ）得，
解得m的取值范围是m≤0．