Question

甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为，且答对一题得1分，答不对得0分．
（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
（II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．

Answer

（1）由题意知甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2．当变量取值是0时，表示甲、乙两人都没有答对每题；当变量取值是1时，表示甲、乙两人有一个人答对一个题；当变量取值是2时，表示甲、乙两人都答对每题，根据相互独立事件同时发生的概率做出结果，写出分布列，求出期望．
（2）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，这四次答题中至少有一次答对的对立事件是甲、乙两人各答两题，这四次都没答对，根据对立事件的概率公式得到结论．
【解析】
（I）依题意，记“甲答对一题”为事件A，
“乙答对一题”为事件B
则
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
；

∴每人各答一题，两人得分之和ξ的数学期望为
（II）“甲、乙两人各答两题，这四次都没答对”的概率为

∴甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为

即甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为