Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱AB的中点，且AB=2，，AD=1．
（I）求证：AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）求点D到平面A₁D₁P的距离．

Answer

（I）证明AB1垂直平面A1PD1内的两条相交直线：A1D1、A1P，即可证明AB1⊥平面A1PD1；
（II）设AB1∩A1P=E，过E作棱D1P的垂线EF，垂足为F，连接B1F，说明∠B1FE为二面角A1-D1P-B1的平面角，然后解三角形，求二面角A1-D1P-B1的正切值；
（III）点D到平面A1D1P的距离转化为点A到平面A1D1P的距离，然后求解即可．
证明：（I）∵ABCD-A1B1C1D1是长方体
∴A1D1⊥平面A1ABB1
且AB1⊂平面A1ABB1
∴A1D1⊥AB1
∵
AB=2，AP=1

在Rt△AB1B中，tanB1AB=
∴∠AA1P=∠B1AB
∵
∴∴A1P⊥AB1，又A1D1∩A1P=A1
∴AB1⊥平面A1PD1（5分）

【解析】
（II）设AB1∩A1P=E，∵AB1⊥平面A1PD1∴B1E⊥平面A1PD1
过E作棱D1P的垂线EF，垂足为F，连接B1F
则EF是B1F在平面A1PD1内的射影，由三垂线定理得B1F⊥D1P
∴∠B1FE为二面角A1-D1P-B1的平面角
∵在Rt△AEP中，EP=AP•sinEAP=
同理可得
又∵Rt△D1A1P∽Rt△EFP
∴
∴
在Rt△B1EF中，（10分）

（III）∵AD∥A1D1，且A1D1⊂平面A1D1P，AD⊄平面A1D1P
∴AD∥平面A1D1P
∴点D到平面A1D1P的距离等于点A到平面A1D1P的距离
∵AE⊥平面A1D1P
∴线段AE的长为点A到平面A1D1P的距离
∵
∴点D到平面A1D1P的距离为（14分）