Question

由坐标原点O向函数y=x³-3x²的图象W引切线l₁，切点为P₁（x₁，y₁）（P₁，O不重合），再由点P₁引W的切线l₂，切点为P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合），…，如此继续下去得到点列{P_n（x_n，y_n）}．
（Ⅰ）求x₁的值；
（Ⅱ）求x_n与x_n+1满足的关系式；
（Ⅲ）求数列{x_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由y=x3-3x2，知y′=3x2-6x．再由切线l1的方程为y-（x13-3x12）=（3x12-6x1）（x-x1）过点O（0，0），知-（x13-3x12）=-x1（3x12-6x1），由此能求出x1的值．
（Ⅱ）由过点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程为y-（xn+13-3xn+12）=（3xn+12-6xn+1）（x-xn+1）过点Pn（xn，yn），知（xn-xn+1）2（xn+2xn+1-3）=0，由此能求出xn与xn+1满足的关系式．
（Ⅲ）由，知，
∴{xn-1}是以为首项，为公比的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）∵y=x3-3x2，∴y′=3x2-6x．
∵过点P1（x1，y1）的切线l1的方程为y-（x13-3x12）=（3x12-6x1）（x-x1），
又l1过点O（0，0），
∴-（x13-3x12）=-x1（3x12-6x1），
∴2x13=3x12，∴或x1=0．∵P1与O不重合，
∴．（5分）
（Ⅱ）∵过点Pn+1（xn+1，yn+1）的切线ln+1的方程为y-（xn+13-3xn+12）=（3xn+12-6xn+1）（x-xn+1），
又ln+1过点Pn（xn，yn），
∴xn3-3xn2-（xn+13-3xn+12）=（3xn+12-6xn+1）（xn-xn+1），
整理得（xn-xn+1）2（xn+2xn+1-3）=0，
由已知得xn≠xn+1，
∴xn+2xn+1=3．（10分）
（Ⅲ）∵，
∴，
∴{xn-1}是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
即．（14分）