Question

数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁=a，a_n+1是函数的极小值点．若数列{a_n}是等比数列，则a的取值范围是   

Answer

先对函数fn（x）进行求导，令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系判断函数fn（x）的单调性进而得到极值点，若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．可得到数列{an}的通项公式，而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．然后记，则可分别求得b1，b2，b3，再令后求导判断在[2，+∝）上的单调性，求出数列{bn}的最大项，然后根据a的不同范围判断数列{an}是否是等比数列，进而得到答案．
【解析】
易知f′n（x）=x2-（3an+n2）x+3n2an=（x-3an）（x-n2）．令f′n（x）=0，得x1=3an，x2=n2．
①若3an＜n2，则当x＜3an时，f′n（x）＞0，fn（x）单调递增；当3an＜x＜n2时，f′n（x）＜0，fn（x）单调递减；当x＞n2时，f′n（x）＞0，fn（x）单调递增．故fn（x）在x=n2取得极小值．
②若3an＞n2，仿①可得，fn（x）在x=3an取得极小值．
③若3an=n2，则f′n（x）≥0，fn（x）无极值．
若对任意的n，都有3an＞n2，则an+1=3an．即数列{an}是首项为a，公比为3的等比数列，且an=a•3n-3．
而要使3an＞n2，即a•3n＞n2对一切n∈N*都成立，只需对一切n∈N*都成立．
记，则
令，则．
因此，当x≥2时，y'＜0，从而函数在[2，+∝）上单调递减，
故当n≥2，数列{bn}单调递减，即数列{bn}中最大项为b2=，于是当a＞是，必有a＞，
这说明当a∈（，+∞）时，数列{an}是等比数列．
当a=，可得a1=，a2=，而3a2=4=22，又③知，f2（x）无极值，不合题意．
当时，可得a1=a，a2=3a，a3=4，a4=12…，数列{an}不是等比数列．
当a=时，3a=1=12，由（3）知，f1（x）无极值，不合题意．
当时，可得a1=a，a2=1，a3=4，a4=12，，数列{an}不是等比数列．
综上所述，存在a，使数列{an}是等比数列，且a的取值范围为．