Question

已知函数．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

Answer

（1）令对数的真数大于0求出x的范围为定义域，据三角函数的有界性求出值域．
（2）函数为复合函数，据符号函数的单调性同增异减，外函数是减函数，求出内函数的递增区间为函数的递减区间；内函数的递减区间为函数的递增区间
（3）判断函数的奇偶性先看定义域，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．
（4）据函数最小正周期的定义，求出周期．
【解析】
（1）由题意得sinx-cosx＞0即，从而得，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
∵，
故0＜sinx-cosx≤，所以函数f（x）的值域是．
（2）∵
令解得
令解得
结合函数的定义域知
单调递增区间是（k∈Z），
单调递减区间是（k∈Z）．
（3）因为f（x）定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，
故f（x）是非奇非偶函数．
（4）∵=f（x），
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．