Question

函数f（x）=ax²+4x+1在区间[1，4]上的最小值为g（a），则（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据函数的解析式求出二次函数的对称轴，并求出区间的中点，然后分a大于0和a小于0两种情况考虑：a小于0时，当对称轴在区间中点的左侧时，得到函数的最小值g（a）为f（4），求出此时a的范围；当对称轴在区间中点的右侧时，得到函数的最小值g（a）为f（1），求出此时a的范围；当a大于0时，同理可得a的函数的最小值，并求出相应a的取值范围；联立即可得到g（a）分段函数的解析式．
【解析】
根据函数f（x）=ax2+4x+1，得到函数的对称轴为x=-，且闭区间[1，4]的中点为，
则a＜0时：①-＜即a＜-时，得到函数的最小值g（a）=f（4）=16a+17；
②-≥即0＞a≥-时，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5．
a＞0时：①-≤即a≥-，即a＞0，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5；
②-＞即a＜-，不合题意，舍去．
综上，得到．
故选D