Question

已知数列a_n满足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），数列b_n满足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），数列c_n满足（n∈N^*）
（1）求数列a_n、b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得对一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．

Answer

（1）利用数列的递推关系建立数列的第n项与前面各项的关系是解决本题的关键，注意累加思想和累乘思想的运用；
（2）利用相减的思想建立数列各项之间的关系是解决本题的关键，注意累乘思想的运用和分类讨论思想的运用；
（3）将所给的不等式进行转化是解决本题的关键，注意分离变量思想和函数最值思想的运用．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=an+n（n∈N*）
∴n≥2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1==
∴（n∈N*），（n+2）bn+1=nbn（n∈N*）
∴，
∴=，
∴（n∈N*）

（2）
∴（n≥2）（n∈N*）
两式相减得：
∴，得出c2=2，n≥2
∴=
．
（3）当n=1时，
∴且k∈N*k≥7且k∈N*
当n≥2时，，即
k（n2-n+9）＞4n2+21n+36
∵n2-n+9＞0恒成立，
∴
事实上：=（n=3取等号）
∴=9∴k＞9且k∈N*．
综上：k≥10，k∈N*故k的最小值为10．