Question

如图所示，已知圆O₁与圆O₂外切，它们的半径分别为3、1，圆C与圆O₁、圆O₂外切．
（1）建立适当的坐标系，求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）在（1）的坐标系中，若圆C的半径为1，求圆C的方程．

Answer

（1）根据求曲线的轨迹方程常采用的方法定义法，由|CO1|-|CO2|=2即可得圆心的轨迹方程；
（2）欲求圆C的方程，关键是求其圆心的坐标，令C（x，y），由圆C与圆O1、O2相切得关于x，y的方程组解之即得．
【解析】
（1）如图，以O1O2所在的直线为x轴，以O1O2的中垂线
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆C的圆心
为C（x，y），半径为r，由|CO1|-|CO2|=（r+3）-（r+1）=2，
得圆C的圆心的轨迹是以O1（-2，0），O2（2，0）为焦点，
定长为2的双曲线，设它的方程为．由2a=2，得a=1，
又c=2，∴b2=c2-a2=3．又点（1，0）不合题意，且|CO1|-|CO2|=2＞0，知x＞1．
∴圆C的圆心的轨迹方程是（x＞1）．
（2）令C（x，y），由圆C与圆O1、O2相切得|CO1|=4，|CO2|=2，
故，解得，
∴圆C的方程为．