Question

已知抛物线y²=2x，定点A的坐标为（，0）．
（1）求抛物线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）设B（a，0），求抛物线上的点到点B的距离的最小值d．

Answer

（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，进而根据勾股定理可得|PA|2=2+y2利用x的范围求得|PA|的范围
（2）依题意可得）|PB|2=（x-a）2+y2=分析当当a-1≥0和a-1＜0时|PB|的最小值，进而可求得d．
【解析】
（1）设P（x，y）为抛物线上任一点，
|PA|2=2+y2=2+2x=2+，
∵x∈[0，+∞），∴x=0时，|PA|min=，
此时P（0，0）．
（2）|PB|2=（x-a）2+y2=（x-a）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）．
①当a-1≥0，即a≥1时，
在x=a-1时，|PB|min2=2a-1；
②当a-1＜0，即a＜1时，在x=0时，
|PB|min2=a2，故d=．