Question

已知数列a_n的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N），
（1）试计算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；
（2）证明你的猜想，并求出a_n的表达式．

Answer

（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn．
（2）利用an=Sn-Sn-1，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an．
【解析】
（1）由a1=1，Sn=n2an（n∈N）得
猜想
（2）证明：∵Sn=n2an①∴Sn-1=（n-1）2an-1②
①-②得Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1
∴an=n2an-（n-1）2an-1
化简得∴
把上面各式相乘得
∴