Question

已知函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列的通项，最后求出数列{an}的通项．
（2）据成等比数列求得数列{bn}的通项，再利用错位相乘法求其前n项和即可．
【解析】
（Ⅰ）∵=（x≥4），
∴f-1（x）=（x≥0），
∴an+1=f-1（an）=，
即（n∈N*）．
∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．
∴，即an=（2n-1）2（n∈N*）．
（Ⅱ）∵成等比数列，∴
从而（n∈N*）．
∴Sn=b1+b2++bn=
则
两式相减得=
∴．