Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AD₁与A₁D相交于点 O．
（1）判断AD₁与平面A₁B₁CD的位置关系，并证明；
（2）求直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角．

Answer

（1）由正方体的性质可得AD1⊥A1D，①A1B1⊥AD1②，结合①②根据直线与平面垂直的判定定理可证AD1⊥平面A1B1CD
（2）由（1）可知AO为平面A1B1CD的垂线，连接B1O，故可得∠AB1O即为所求的角，在直角三角形AB1O中求解即可
【解析】
（1）AD1⊥平面A1B1CD．
证明：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥AD1，
AD1⊥A1D，A1D∩A1B1=A1，
∴AD1⊥平面A1B1CD．
（2）连接B1O．∵AD1⊥平面A1B1CD于点O，
∴直线B1O是直线AB1在平面A1B1CD上的射影．
∴∠AB1O为直线AB1与平面A1B1CD所成的角．
又∵AB1=2AO，
∴．
∴∠AB1O=30°．