Question

给出下列命题：①若复平面内复数z=x-i 所对应的点都在单位圆x²+y²=1内，则实数x的取值范围是-＜x＜；②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，则z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；③若z³=1，则复数z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1，其中，正确命题的序号是    

Answer

①根据若复平面内复数z=x-i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内，得到＜1，解不等式得到实数x的取值范围是-＜x＜知本题正确；②在复平面内，z到两个定点的距离之和是一个定值，根据椭圆的定义知z轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；
③若z3=1，则复数z一定等于1，得到z=1，或z=-④要满足x2-1=0，x2+3x+2≠0，而当x=-1时，x2+3x+2=0
【解析】
①∵若复平面内复数z=x-i 所对应的点都在单位圆x2+y2=1内，
∴＜1，
∴
∴实数x的取值范围是-＜x＜
∴①正确；
②在复平面内，若复数z满足|z-i|+|z+i|=4，
由复数的几何意义知，z到两个定点的距离之和是一个定值4
且4＜2
∴z在复平面内对应的点Z的轨迹是焦点在虚轴上的椭圆；
∴②正确；
③若z3=1，则复数z一定等于1
当复数z是一个实数时，z=1，
当复数z是一个虚数时，z=-
∴③不正确；
④若（x2-1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，
要满足x2-1=0，x2+3x+2≠0
而当x=-1时，x2+3x+2=0
∴④不正确．
故答案为：①②