Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，1]上的值域；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）为二次函数设出其解析式，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）通过配方，求得函数的对称轴，确定函数在给定区间上的单调性，可得函数在区间上的值域．
（Ⅲ）将“y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方”转化为“x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立”，移项后转化为“x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立”，只需该二次函数在[-1，1]上的最小值大于0即可，从而求得m的值．
【解析】
（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以，∴f（x）=x2-x+1．
（Ⅱ）
所以当x∈[-1，1]时，ymin=f（）=，ymax=f（-1）=3
∴函数的值域为
（Ⅲ）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=，所以g（x）在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．