Question

已知函数y=2-sin²x+cosx，求函数的值域．并指出函数取得最大值时相应的x的值．

Answer

先利用同角三角函数关系将函数化成关于cosx的二次函数形式，再利用换元法令t=cosx∈[-1，1]，转化成关于t的二次函数再闭区间上求值域即可．
【解析】
y=2-sin2x+cosx=2-（1-cos2x）+cosx=cos2x+cosx+1
令t=cosx∈[-1，1]，∴y=（t+）2+，t∈[-1，1]
所以函数的值域为：
当t=1，即cosx=1，即x=2kπ，k∈Z时，ymax=3