Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间．
（2）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）求出f′（x），因为函数在x=-与x=1时都取得极值，所以得到f′（-）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由解得，
f'（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x （-∞，-） - （-，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-）和（1，+∞），递减区间是（-，1）．
（2），
当x=-时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈[-1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．