Question

已知函数f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【解析】
（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x2+3x+1-lnx
∴
解f'（x）＞0，即：2x2-3x+1＜0
函数f（x）的单调递增区间是．
（Ⅱ）f′（x）=-2x+a-，∵f（x）在上为减函数，
∴x∈时-2x+a-＜0恒成立．
即恒成立．设，则
∵x∈时，＞4，
∴g′（x）＜0，∴g（x）在上递减，
∴g（x）＞g（）=3，∴a≤3．