Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（1）求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）由Sn+1=2λSn+1知S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，由此可求出λ=1．
（2）由题意可知Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，由此可知an=2n-1．
（3）由题意知Tn=1•2+2•21+3•22++（n-1）•2n-2+n•2n-1，2Tn=1•2+2•22++（n-2）•2n-2+（n-1）•2n-1+n•2n，由此可知Tn的值．
【解析】
（1）由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1，∴a3=S3-S2=4λ2，∵a3=4，λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），
∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，
∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），
∵当n=1时a1=1满足an=2n-1，∴an=2n-1．（10分）
（3）Tn=1•2+2•21+3•22++（n-1）•2n-2+n•2n-1，①2Tn=1•2+2•22++（n-2）•2n-2+（n-1）•2n-1+n•2n，②
①-②得-Tn=1+2+22++2n-2+2n-1-n•2n，
则Tn=n•2n-2n+1．（14分）