Question

已知函数f（x）=-（a＞0，x＞0）．
（1）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．

Answer

（1）要使得f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，即转化为a≥=在（0，+∞）上恒成立，在利用基本不等式即可求解
（2）根据函数的单调性得到m=f（m），n=f（n），在将之转化为方程ax2+x+a=0有两个不相等的正根，根据一元二次方程gender分布即可求解．
【解析】
（1）∵f（x）=-，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴转化为a≥=在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=（当且仅当2x=即x=时取等号），
即g（x）≤=
要使a≥=（0，+∞）上恒成立，则a≥，
故a的取值范围是[，+∞）．

（2）任取x1＞x2＞0，
f（x1）-f（x2）=+-（）=＜0，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∵f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n）
∴m=f（m），n=f（n），即am2-m+a=0，an2-n+a=0．
故方程ax2+x+a=0有两个不相等的正根m，n，
注意到m•n=1，则只需要△=（1）2-4a2＞0，由于a＞0，则0＜a＜．
故（1）的答案为
（2）的答案为0＜a＜