Question

如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东a角的射线OZ方向航行，其中tana=，在距离港口O为3a（a为正常数）海里北偏东β角的A处有一个供科学考察船物资的小岛，其中cosβ=，现指挥部紧急征调沿海岸线港口O正东方向m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科学考察船，该船沿BA方向不变追赶科学考察船，并在C处相遇．经测算，当两船运行的航线OZ与海岸线OB围成三角形OBC的面积S最小时，补给最合适．
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）当m为何值时，补给最合适？

Answer

先以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系．
（1）先求出直线OZ的方程，然后根据β的正余弦值和OA的距离求出A的坐标，进而可以得到直线AB的方程，然后再与直线OZ的方程联立求出C点的坐标，根据三角形的面积公式可得到答案．
（2）根据（1）中S（m）的关系式，进行变形整理，然后利用基本不等式求出最小值．
【解析】
以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，
（1）设A（x，y），∵cosβ=，sinβ=，
则x=3asinβ=9a，y=3acosβ=6a，∴A（9a，6a）．
又B（m，0），则直线AB的方程为y=（x-m） ②
由①、②解得，C（，），
∴S（m）=S△OBC=|OB||yc|=×m×=（m＞7a）．
（2）S（m）==3a[（m-7a）++14a]≥84a2当且仅当m-7a=，即m=14a＞7a时，等号成立，
故当m=14a海里时，补给最合适．