Question

已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若F（x）=af（x）+bx⁵+cx³+2x²+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）

Answer

（1）用赋值法f（-1）
（2）用赋值法求f（1），f（-1），再对b赋值-1，就可得到关于f（-x）与f（x）的关系式．
（3）利用f（x）是奇函数可得F（x）-3-2x2也为奇函数，再利用奇函数的图象关于原点对称即可求F（5）．
【解析】
（1）令a=b=0⇒f（0）=0f（0）+0f（0）=0⇒f（0）=0
（2）证明：令a=b=1⇒f（1）=0，令a=b=-1⇒f（1）=-2f（-1）⇒f（-1）=0
令b=-1⇒f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）⇒f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴F（x）-3-2x2=af（x）+bx5+cx3+dx也为奇函数，
∴F（-5）-3-2×（-5）2=-[F（5）-3-2×52]又因为F（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．