Question

已知函数，数列a_n满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求a_2n-1-a_2n+1及T_n；
（3）令对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

Answer

本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答时：
（1）结合函数解析式和递推关系即可探索出数列的特点，再利用等差数列的特点即可求得数列{an}的通项公式；
（2）结合（1）的结论即可获得a2n-1-a2n+1的值，同时通过a2n-1•a2n-a2n•a2n+1的表达即可获得Tn中数列的通项，结合等差数列的知识即可获得问题的解答；
（3）首先利用（1）的结论对bn进行化简，再利用裂项的方法即可获得问题的解答．
【解析】
（1）由题意可知：，
∴数列{an}为以1为首项，以为公差的等差数列，
所以通向公式为，
即：，n∈N*；
（2）∵Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1，结合（1）的结论可知：
且，
∴，
故：，．
（3）∵
∴
=
∴
∴
又因为对一切n∈N*成立，
∴
故：m的最小值为2009．