Question

平面上有四点A、B、Q、P，其中A、B为定点，且|AB|=，P、Q为动点，满足|AP|=|PQ|=|QB|=1，△APB和△PQB的面积分别为m、n．
（1）求∠A=30°，求∠Q
（2） 求m²+n²的最大值．

Answer

（1）由余弦定理分别表示出PB，建立等式求得cosQ的值，进而求得Q．
（2）分别利用三角形面积公式表示出m和n，进而代入m2+n2中整理成关于cosA的表达式，根据cosA的范围和二次函数的性质求得函数的最大值．
【解析】
（1）由余弦定理得PB2=1+3-2cosA，PB2=1+1-2cosQ
∴4-2cosA=2-2cosQ，由A=30°求得cosQ=
∴Q=60
（2）m2+n2=（×1×sinA）2+（×1×1×sinQ）2=sin2A+（1-cos2Q）=-（cosA-）2+
∴当cosA=时，m2+n2的最大值为