Question

已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P、Q两点，0为坐标原点，问是否存在实数m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

设出P，Q的坐标，根据OP⊥OQ可推断出•=-1，把P，Q坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出xp+xQ和xp•xQ，利用直线方程求得yp•yQ的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．
【解析】
设点P（xp，yp），Q（xQ，yQ）
当OP⊥OQ时，Kop•KOQ=-1⇒•=-1⇒xpxQ+ypyQ=0（1）
又直线与圆相交于P、Q⇒的根是P、Q坐标
⇒是方程5x2+10x+（4m-27）=0的两根
有：xp+xQ=-2，xp•xQ=（2）
又P、Q在直线x+2y-3=0上yp•yQ=（3-xp）•（3-xQ）（3）
=[9-3（xp+xQ）+xp•xQ]
由（1）（2）（3）得：m=3
且检验△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ