Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，在上单调递增，且满足f（-x）=f（x-1），给出下列结论：①f（1）=0；②函数f（x）的周期是2；③函数f（x）在上单调递增；④函数f（x+1）是奇函数．
其中正确的命题的序号是    ．

Answer

①由f（-x）=f（x-1），用赋值法求解．②由奇函数和f（-x）=f（x-1），可得f（x-1）=-f（x），进而有f（x+2）=f（x）得证．③由②知无法得知其性质．④函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单位，由f（x）的性质判断出它是奇函数．
【解析】
①∵函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0，
又∵f（-x）=f（x-1）
∴f（-1）=f（1）=0
正确．
②∵奇函数和f（-x）=f（x-1），
∴f（x-1）=-f（x），
∴f（x+2）=f（x）
∴函数f（x）的周期是2．
③由②知无法得知其性质，不正确．
④∵函数f（x+1）的图象是由f（x）的图象向左平移1个单位，
∵f（x）是奇函数，f（x-1）=-f（x），
∴f（1-x）=f（x），
即函数f（x）关于x=对称，可得出（1，0）点也是对称中心
所以f（x+1）是奇函数，正确．
故答案为：①②④