Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n+pn+q}是等比数列，求实数p、q的值；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n；
（Ⅲ）试比较a_n与（n+2）²的大小．

Answer

（1）利用等比数列的定义，设对任意n∈N*都成立，待定系数法求出常数p和q的值．
（2）求出数列通项公式，拆项后分别使用等比数列、等差数列求和公式进行求和．
（3）对项数n进行检验、归纳猜想，将猜想的结论进行等价转化，明确目标，将不等式进行适当的放缩．
【解析】
（Ⅰ）设对任意n∈N*都成立．
得an+1+p（n+1）+q=man+mpn+mq．（2分）
又an+1=2an+n+1，
则2an+n+1+pn+p+q=man+mpn+mq，
即（2-m）an+（p+1-mp）n+p+1+q-mq=0．
由已知可得an＞0，
所以解得（5分）
则存在常数p=1，q=2使数列{an+pn+q}为等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+n+2=4•2n-1．
则an=2n+1-n-2．（8分）
所以Sn=a1+a2++an=22+23++2n+1-（3+4++n+2）==．（10分）
（Ⅲ）当n=1时，a1=1，（1+2）2=9，则a1＜9；
当n=2时，a2=4，（2+2）2=16，则a2＜16；
当n=3时，a3=11，（3+2）2=25，则a3＜25；
当n=4时，a4=26，（4+2）2=36，则a4＜36；
当n=5时，a5=57，（5+2）2=49，则a5＞49；（11分）
当n≥5时，要证an＞（n+2）2⇔2n+1-n-2＞（n+2）2⇔2n+1＞n2+5n+6．
而2n+1=Cn+1+Cn+11+Cn+12++Cn+1n+1≥2（Cn+1+Cn+11+Cn+12）+Cn+13
=
≥2+2（n+1）+n（n+1）+（n-1）•n（∵n+1≥6）
=（n2+5n+6）+[n（n-3）-2]＞n2+5n+6．
所以当n≥5时，an＞（n+2）2．（13分）
因此当1≤n≤4（n∈N*）时，an＜（n+2）2；当n≥5（n∈N*）时，an＞（n+2）2．（14分）