Question

已知，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，）（n∈N^*）在曲线y=f（x）上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}的首项b₁=1，前n项和为T_n，且，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer

（1）点Pn（an，）（n∈N*）在曲线y=f（x）上，代入f（x）的解析式化简可得数列{}是等差数列，根据首项与公差写出数列{}的通项公式，根据且a1=1，an＞0，即可得到数列{an}的通项公式an；
（2）把（1）中求出的数列的通项公式代入中，化简后得到
，设，则上式变为cn+1-cn=1，得到{cn}是等差数列．求出{cn}的通项公式，
代入即可求得Tn的通项公式，然后利用bn=Tn-Tn-1即可得到数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）由题意知．
∴．
∴，即{}是等差数列．
∴+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．
∴．
又∵an＞0，
∴．
（2）由题设知（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n+1）（4n-3）．
∴．
设，则上式变为cn+1-cn=1．
∴{cn}是等差数列．
∴cn=c1+n-1=+n-1=b1+n-1=n．
∴，即Tn=n（4n-3）=4n2-3n．
∴当n=1时，bn=T1=1；
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4（n-1）2+3（n-1）=8n-7．
经验证n=1时也适合上式．
∴bn=8n-7（n∈N*）．