Question

已知A（-1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；
（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；
（3）设直线l：y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer

【解析】
（1）先将条件化简即得动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是图形：轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆．
（2）先设过点B的直线为y=k（x-2）．利用圆心到直线的距离不大于半径即可解得k的取值范围，从而得出动点M与定点B连线的斜率的最小值即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即存在以线段PQ为直径的圆经过A，再利用PA⊥QA，求出m的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）
化简可得（x+2）2+y2=4．
轨迹C是以（-2，0）为圆心，2为半径的圆（3分）
（2）设过点B的直线为y=k（x-2）．圆心到直线的距离≤2
∴，kmin=（7分）
（3）假设存在，联立方程得2x2+2（m+2）x+m2=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=-m-2，x1x2=
PA⊥QA，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+（x1+m）（x2+m）=0，
2x1x2+（m+1）（x1+x2）+m2+1=0得m2-3m-1=0，
且满足△＞0．∴（12分）