Question

已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆上关于原点O对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线具有类似特性的性质并加以证明．

Answer

设出M和N的坐标，代入双曲线的方程，设点P的坐标，进而表示出PM，PN的斜率，求得两斜率之积．把点P的坐标代入双曲线方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之积得表达式求得结果为常数，故可推断出kPM•kPN与点P的位置无关的定值．
【解析】
可以通过横向类比得：若M，N是上述双曲线上关于原点O对称的两点，
点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，
那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
下面给出严格的证明：
设点M（m，n），则N（-m，-n），其中，又设点P的坐标
为P（x，y），则，，
注意到，点P（x，y）在双曲线上，
故，
代入可得：（常数），
即kPM•kPN与点P的位置无关的定值