Question

设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．

Answer

（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；
（2）由于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质可得EC与MN垂直建立t的方程求解即可．
【解析】

（1）证明：点（t＞0），
因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．
于是圆C的方程是．则．
由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，
于是多边形EACB为Rt△AEB，
其面积．
所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．
（2）若|EM|=|EN|，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，，kMN=-2．
所以由kEC•kMN=-1，得t=2，
所以圆C的方程是（x-2）2+（y-1）2=5．