Question

已知圆C的方程x²+y²-2ax+（2-4a）y+4a-4=0（a∈R）．
（1）证明对任意实数a，圆C必过定点；
（2）求圆心C的轨迹方程；
（3）对a∈R，求面积最小的圆C的方程．

Answer

（1） 分离参数a，化为x2+y2+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，此圆经过的定点就是x2+y2+2y-4=0和（-2x-4y+4）=0的
交点，解方程组求得交点的坐标．
（2）设圆心C的坐标为（x，y），由圆的方程可得 ，消去a，即可得到圆心C的轨迹方程．
（3）面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，线段AB 的中点是圆心，线段AB 是直径．
（1）证明：分离参数a，化为x2+y2+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
又，得或，∴对任何实数a，圆C必过点A（2，0）、．
（2）【解析】
∵D2+E2-4F=4（5a2-8a+5）＞0恒成立，设C的坐标为（x，y），
则圆心C的方程为，消去a，得 2x-y-1=0，∴圆心C的轨迹方程为 2x-y-1=0．
（3）【解析】
面积最小的圆就是以AB为一条直径的圆，方程是．