Question

已知点P是圆C：x²+y²=1外一点，设k₁，k₂分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-λ（λ≠-1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型．

Answer

（1）由题意设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径列出关于斜率的方程，由韦达定理求出k1•k2的值；
（2）设出点P的坐标及切线方程，由圆心到直线的距离等于半径列出关于斜率的方程，由韦达定理用P点的坐标表示k1•k2，由题意列出关系式，注意取值；再根据圆锥曲线的定义和λ的范围讨论曲线M的形状．
【解析】
（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵其与圆相切，则=1，化简得3k2-8k+3=0，
∴k1•k2=1．
（2）设点P坐标为（x，y），过点P的切线斜率为k，
则方程为y-y=k（x-x），即kx-y-2k+2=0，
∵其与圆相切，∴=1，化简得（x2-1）k2-2xy+（y2-1）=0，
∵k1，k2存在，
则x≠1且x≠-1，△=（2xy）2-4（x2-1）（y2-1）=4（x2+y2）-4＞0，
∵k1，k2是方程的两个根，
∴k1•k2==-λ，化简得λx2+y2=λ+1．
即所求的曲线M的方程为：λx2+y2=λ+1（x≠±1）；
若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；
若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；
若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；
若λ=1时，M所在曲线M是圆；
若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．