Question

已知函数f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x²）的值域为_     ．

Answer

先求出函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，然后将函数化成关于log3x的二次函数，进行配方找出对称轴，而0≤log3x≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值，即可求出值域．
【解析】
∵f（x）=2+log3x，x∈[1，9]，
∴y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为
解得1≤x≤3，即定义域为[1，3]．
∴0≤log3x≤1．
又y=[f（x）]2+f（x2）
=（2+log3x）2+2+log3x2
=（log3x）2+6log3x+6
=（log3x+3）2-3，
∵0≤log3x≤1，
∴6≤y≤13．
故函数的值域为[6，13]．
故答案为：[6，13]