Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

Answer

（Ⅰ）整理题设an+1=4an-3n+1得an+1-（n+1）=4（an-n），进而可推断数列{an-n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{an-n}的通项公式，进而可得{an}的通项公式根据等比和等差数列的求和公式，求得Sn．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的Sn代入Sn+1-4Sn整理后根据证明原式．
【解析】
（Ⅰ）证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*．
又a1-1=1，所以数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an-n=4n-1，于是数列{an}的通项公式为an=4n-1+n．
所以数列{an}的前n项和．
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，=．
所以不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．