Question

如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在PB上找一点M，使截面AMC把几何体分成两部分，且；
（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．

Answer

（1）先由平面PAD⊥平面ABCD⇒DC⊥平面PAD⇒平面PAD⊥平面PCD即可．
（2）因为S△ABC=SABCD且；所以对应高之比为，所以可得M为PB中点．
（3）用反证法证之；若AM∥平面PCD⇒平面ABM∥平面PCD⇒与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾．即可．
【解析】
（1）证明：依题意知CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAD
又DC⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．（4分）
（2）【解析】
∵，（6分）
设P、M到底面ABCD的距离分别为h、hM，
则
∴，
∴M为PB中点．（8分）
（3）∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PCD（10分）
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，
∴平面ABM∥平面PCD
这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾
∴AM与平面PCD不平行（12分）