Question

对任意实数x，若不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1
B．k＜-3
C．k＞1
D．k＞3

Answer

首先分析题目已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，求k的取值范围，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x-2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点-1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在-1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案．
【解析】
已知不等式|x+1|+|x-2|＞k恒成立，即需要k小于|x+1|+|x-2|的最小值即可．
故设函数y=|x+1|+|x-2|． 设-1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数y=|x+1|+|x-2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x+1|+|x-2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x-2|的最小值为3．
即：k＞3．
故选择D．