Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，若f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0）．
（1）若a=2，b=-2，求f（x）的不动点；
（2）若f（x）有两个不等的不等点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）不动点的定义，若f（x）=x，则称x为f（x）的“不动点”，结合f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0），a=2，b=-2，我们可以构造一个关于x的一元二次方程，解方程，即可求出f（x）的不动点．
（2）若f（x）有两个不等的不等点，则方程f（x）=x有两个不等的实数根，由一元二次方程根的个数与△的关系，我们不难得到实数a的取值范围．
【解析】
∵f（x）=ax2+（b+1）x+b-2（a≠0）
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x2-x-4
设x为其不动点，即2x2-x-4=x
则2x2-2x-4=0
∴x1=-1，x2=2，即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax2+bx+b-2（a≠0）
由已知，此方程有相异二实根，
△＞0恒成立，即
即b2-4ab+8a＞0恒成立．
∴16a2-32a＜0
解得：0＜a＜2