Question

某村子的正西是一片山区．山脚下A处已建一处采石场，村子的北边有一池塘，南边有一树林，在B处是个石粉厂，在采石场采到的石料由公路ACEDB运输到石粉厂，如图所示．已知A，C，D，B在一条直线上，AC=2km，CE=2km，ED=3km，DB=2km，∠CED=120°．
（I）求CD的长．
（II）在运作了一段时间后，发现在运输车经过公路CE，ED时对池塘有污染..需要另建公路ACMNB．为了不破坏树林，必须要求CM=3km，∠CMN=135°，∠MNB=150°MN∥AC．求建这条新的公路中MN的长．

Answer

（I）在△CED中，利用余弦定理根据CE，BD和∠CED求得CD．
（II）过D作DF∥BN交NM与F，MG∥BN，交CD与G，则∠FDC=∠MGC=30°，∠MCG=45°，进而求得∠CMG，进而在△CMG中，由正弦定理求得CG，则GD可求，最后把MF和FN相加即可．
【解析】
（I）在△CED中，由余弦定理可知
CD2=4+9-2×2×3×（-）=19
∴
（II）过D作DF∥BN交NM与F，MG∥BN，交CD与G，则∠FDC=∠MGC=30°
∠MCG=45°，
∴∠CMG=180°-30°-45°=105°
在△CMG中，由正弦定理可知=
∴CG=
∴MF=DG=-
∵FN=BD=2
∴．