Question

正项数列{a_n}，其前n项和为S_n并且满足：a_n+1²-a_n²=2ⁿ（S_n+1-S_n+a_n）且a₁=1，n∈N*．
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若，判断数列{b_n}的单调性，并证明之．

Answer

（I）由题设知（an+1-an）（an+1+an）=2n（an+1+an），an+1-an=2n，由此用叠加法能求出数列{an}的通项公式．
（II）数列{bn}是增数列．用数学归内法进行证明．
【解析】
（I）∵an+12-an2=2n（Sn+1-Sn+an）且a1=1，n∈N*．
∴（an+1-an）（an+1+an）=2n（an+1+an），
∴an+1-an=2n，
∴an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=1+2+22+…+2n-1
=2n-1．
（II）=，此数列是增数列．用数学归纲法证明如下：
（1），∴b2＞b1．
（2）假设bk＞bk-1，即，
则＞0，
即bk+1＞bk．
由（1）、（2）知，是增数列．