Question

已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足．
（I）求动点P的轨迹C的方程．
（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．
①求直线l斜率k的取值范围．②若OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer

（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件将a和b用x和y表达，代入|MN|=4即可．
（II）①设出直线l的方程，与轨迹C的方程联立、消元、△＞0解不等式即可
②设A（x1，y1），B（x2，y2），OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0，由维达定理表示出x1x2和y1y2代入求解即可．
【解析】
（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件得（x-a，y）=（-x，b-y），即
因为|MN|=4，所以a2+b2=16，即
（II）设直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立、消元得：（1+9k2）x2+36kx+27=0  （1）
①直线l与C交于不同两点A，B则△＞0，解得或
②设A（x1，y1），B（x2，y2），OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0  （2），
由（1）可得x1x2=，x1+x2=
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
代入（2）得，k=
所以直线l的方程为：