Question

关于x的不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a．
（I）当a=1时，解上述不等式．
（II）当a＜0时，若上述不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）把a=1代入不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a，根据绝对值不等式的解法解不等式；
（II）当a＜0时，把不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a等价变形为|x+1|-|x+|≤3恒成立，根据绝对值不等式的几何意义求最值．
【解析】
（I）当a=1时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a为2|x+1|≥3
∴x+1≥或x+1
解得：{x|x≤-或x≥}
（II）当a＜0时，不等式|ax+1|+a|x+1|≥3a⇔-a|x+|+a|x+1|≥3a⇔|x+1|-|x+|≤3恒成立根据绝对值的几何意义得|-1+|≤3⇔1-≤3，解得a≤-．