Question

函数y=f（x）的值域是[-1，2]，则函数y=-f²（x-1）+2f（x-1）的值域为     ．

Answer

由函数y=f（x）的值域是[-1，2]，知f（x-1）的值域也是[-1，2]，而函数y=-f2（x-1）+2f（x-1）是f（x-1）的二次函数，求y的值域就化为求二次函数在一闭区间上的最值问题．
【解析】
由题意，函数y=-f2（x-1）+2f（x-1）=-[f（x-1）-1]2+1，
∵函数y=f（x）的值域是[-1，2]，
得-1≤f（x-1）≤2，
则-2≤f（x-1）-1≤1，
∴0≤[f（x-1）-1]2≤4，
∴-4≤-[f（x-1）-1]2≤0，
∴-3≤-[f（x-1）-1]2+1≤1；
所以函数y的值域为[-3，1]．
故答案为：[-3，1]